Нормативными словарями современного русского языка существительное беспилотие не зафиксировано. Однако нам встречались редкие упоминания этого слова в качестве термина, которым обозначают отрасль беспилотной авиации.

Да, это калька английского it depends, получившая распространение в русском языке с начала 1990-х годов. Аналогичное выражение широко распространено и во французском языке — ça dépend. В русском языке глагол зависеть требует обязательного распространения (зависеть от кого-чего), поэтому предпочтительно избегать этого выражения. В зависимости от ситуации общения, стиля речи, а также от того, о прошлом или будущем говорится в высказывании, в русском языке для выражения соответствующего значения используются сочетания когда как, по-разному, зависит от обстоятельств и т. п.

Правильное ударение по-прежнему украи́нский. Помета «устар.» в «Большом толковом словаре» относится к варианту укра́инский. Из всех орфоэпических словарей только «Большой орфоэпический словарь русского языка» дает укра́инский как допустимый вариант (но всё равно при предпочтительном украи́нский).

Это допустимый вариант пунктуационного оформления приведенного предложения.

Пунктуация при оборотах с предлогами от... до... не кодифицирована. Такой оборот не представляет собой однородный (перечислительный) ряд с обобщающим словом: в нем обозначены только границы этого ряда, а существительные, составляющие конструкцию, стоят в разных формах. К этому обороту можно применить правило о пояснительных конструкциях и выделить его с помощью парных запятых или тире:

• Они с любовью и трепетом развивают таланты и способности детей в различных направлениях — от изобразительного искусства и музыки до робототехники и программирования, — проводя интересные занятия и организуя увлекательные мероприятия. (Предпочтительный вариант, здесь выстраивается иерархия понятий.)
• Они с любовью и трепетом развивают таланты и способности детей в различных направлениях, от изобразительного искусства и музыки до робототехники и программирования, проводя интересные занятия и организуя увлекательные мероприятия. (Допустимый вариант.)

В данном случае перед приложением необходимо поставить дефис: допустимый термин-синоним.  

Да, это допустимымый вариант, однако он считается устаревающим. 

Действительно, варианты одновре́менный и одновреме́нный, одновре́менно и одновреме́нно находятся в пределах литературной нормы, в чем можно убедиться, обратившись к словарям нашего потрала. Только те словари, которые адресованны работникам СМИ («Русское словесное ударение» М. В. Зарвы и «Словарь трудностей русского языка» М. А. Штудинера), в качестве рекомендуемого предлагают один вариант — с ударением на корне. (К сожалению, пока возможности верстки на портале не позволяют отобразить варианты, отмеченные М. А. Штудинером как рекомендуемые, но их можно увидеть на старом портале, они даются в словаре голубым цветом, о чем говорится в предисловии к словарю).

Два варианта ударения для слова одновременный фиксируются словарями достаточно давно, они даются уже в «Толковом словаре русского языка» под ред. Д. Н. Ушакова 1935–1940 гг. и в словаре «Русское литературное произношение и ударение» под ред. Р. И. Аванесова и С. И. Ожегова 1955 г. Правда, в последнем варианты предлагается различать: одровреме́нный — предпочтительный, а одновре́менный — допустимый.

Обычно используется слово допустимый, в том числе в сочетании с существительным суждение. Слова преддопущенный в словарях нет.