Верно: попить чайку.
Верно: Можно я пойду попить воды?
Верные варианты: добиться девушки, добиться сердца девушки.
Интересный случай. Формально, если отсутствует то и можно переставить придаточную часть, то запятая на стыке союзов должна ставиться. Однако в стихотворении очевиден синтаксический параллелизм, и отсутствие то можно объяснить необходимостью сохранения ритмического рисунка. Полагаем, что это дает право не ставить запятую на стыке союзов.
Кроме проблемной запятой на стыке союзов, обращает на себя внимание запятая перед тире. Структурно этот знак избыточен. Вероятно, он может быть оправдан желанием автора пунктуационно (может быть, и интонационно) акцентировать последнюю строку.
Запятая нужна.
Выражение добиться цели корректно, хотя более устойчивы сочетания достичь цели и добиться успеха.
Допустимы оба варианта: попить чая, попить чаю. Второй вариант более употребим в разговорной речи.
Да, такой глагол существует и зафиксирован в словарях.
