Такое слово есть, см. в словарях.
Правильно: домогаться кого-либо, чего-либо.
Вы привели два графических варианта одного и того же имени собственного (наименования города). Различие вариантов заключается в гласных буквах е и ё, взаимозаменяемость которых предопределена факультативным употреблением буквы ё (о чем сообщается в «Правилах русской орфографии и пунктуации», изданных еще в 1956 году).
Запятая после существительного цель, перед союзом и, не нужна, поскольку союз и соединяет придаточные части, зависимые от одной главной.
Ошибки нет, всё корректно.
Корректно: домогаться девочки.
Это и правда очень сложно – доказать носителям языка, уверенным, что их фамилия не склоняется, что они неправы. Возможно, Вам поможет статья нашей рубрики «8familii/">Азбучные истины».
Следует перестроить предложение: С ее помощью можно и продемонстрировать свою компетентность, и доказать пользу для бизнеса клиента.