Оба варианта правильны — с тире и без него. В эллиптических предложениях (самостоятельно употребляемых предложениях с отсутствующим сказуемым) тире ставится при наличии паузы и не ставится при её отсутствии. 

Запятая нужна, чтобы закрыть причастный оборот, относящийся к подразумеваемому личному местоимению мы.

Нет, такое употребление некорректно.

Большой толковый словарь русского языка

ВЗАИМНЫЙ, -ая, -ое; -мен, -мна, -мно. Проявляющийся по отношению друг к другу; обоюдный. В-ое доверие. В-ая помощь. В-ая любовь. В-ые обязательства. 

Словообразовательная цепочка, демонстрирующая ступени образования слова поверье выглядит следующим образом: вери-ть → по-верить → повер[j-е].

Производящее слово поверить, суффикс -[j]- (вариант суффикса -и[j]-). С помощью этого суффикса образуются отглагольные существительные, которые совмещают в своем значении присущее производящему глаголу значение действия (или состояния) со значением существительного как части речи, ср.: бесчестить → бесчестье, удушать / удушить → удушье, доверять / доверить → доверие и др. При образовании производной основы повер[j]- происходит усечение производящей глагольной основы: повери-.

В «Словообразовательном словаре» А. Н. Тихонова в качестве производящего для слова поверье указан глагол верить, однако при таком подходе остается неясным, какое значение в словообразовательную модель вносит приставка по-, которая очевидным образом является глагольной со значением результативности действия (значение совершенного вида) и появляется на ступени верить → по-верить, ср.: строить → по-строить, белить → по-белить, бить → по-бить и др.

Словообразовательная модель, по которой образовано слово поверье (← поверить) описана в «Русской грамматике), т. I, §259. Академическая грамматика является наиболее авторитетным источником, описывающим систему современного русского языка.

Спасибо за доверие! Наша "версия" основана на социолингвистических исследованиях. См., например, в книге Марины Королёвой "Русский в порядке" (М., 2024). 

Спасибо за доверие! В трудных случаях всегда можно обратиться к нам за консультацией. 

Да, всё именно так. См. пункт 6 параграфа 15 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).

Согласно правочнику В. В. Лопатина, в начале предложения не разделяются запятой сочинительный и подчинительный союзы.

По справочнику Д. Э. Розенталя, после союза но запятая ставится при наличии паузы между союзами и не ставится, если паузы нет.

Таким образом, можно найти аргументы и в пользу запятой, и против нее.

Верно: И в первую очередь это доверие женщины себе, своему телу и малышу.

Толковые словари, например «Большой толковый словарь русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова, фиксируют оборот не внушать доверия.