Оба варианта возможны. Лучше: приглашаем отдохнуть на лоне природы.
Правильно: После того как Лоне закончила, она стала готовить ужин.
Правилен первый вариант. Ср.: чей? — Сонин, Яшин, Томарин.
Запятая поставлена верно.
Биеннале можно согласовать в мужском и женском роде. Если мероприятий несколько, то и во мн. ч.
Правильно: Ленин компьютер. Притяжательные прилагательные образуются с помощью суффиксов -ов (-ев) и -ин. Омонимия Ленин (принадлежащий Лене) – Ленин (Владимир Ильич) – не повод писать букву Ы вместо И.
Вы правы: указанная запятая не нужна.
Подробно о склонении географических названий см. в «Письмовнике».
Встреачаются оба варианта написания имени рок-музыканта. В «Википедии» в качестве основного выбран вариант Кравиц.