Оба варианта возможны. Лучше: приглашаем отдохнуть на лоне природы.
Корректно: Буш-младший, Джордж Буш – младший (с тире во втором случае).
Особенность склонения этой фамилии – окончание -ом в творительном падеже: Джорджем Гершвином (т. к. это иноязычная фамилия). Остальные падежи не вызывают затруднений: Джорджа Гершвина, Джорджу Гершвину, Джорджа Гершвина, о Джордже Гершвине.
Правильно: После того как Лоне закончила, она стала готовить ужин.
Возможно (если название комплекса не является топонимом, т. е. географическим названием): горнолыжный комплекс "Бобровый лог".