Корректно: политологи ломают голову.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.
Оба варианта верны.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Возможный вариант: дата приема на работу должна предшествовать дате увольнения.