Слова грамота и грамматика пишутся по-разному, потому что пришли в русский язык в разное время и разными путями. Грамота – это очень старое заимствование из греческого языка. В греческом было слово gramma, означавшее «письменный знак», «буква». У этого слова была форма множественного числа grammata – то есть «буквы», «письмо». Вот это форма и стала нашей грамотой: мы немного изменили греческое слово на свой лад. А слово грамматика пришло к нам намного позже, в XVIII веке, из латинского языка. Оно тоже, конечно же, восходит к греческим словам grammata, grammatike, но в латинском языке сохранились две буквы «м».

Названия стран, даже вымышленных, в кавычки не заключаются. Рекомендуем вторые кавычки не ставить.

Действуют стандартные правила склонения топонимов.

В словах грамотно, грамотей корень грамот. Грамотно и грамматика – не однокоренные, но родственные слова.

Верно: Проснулся, понял, что опаздываю.

Предпочтительно: Есть вещи, которых лучше не знать. При глаголах восприятия мысли (видеть, слышать, понимать, думать, знать, хотеть и т. п.) в конструкциях с отрицанием обычно употребляется не винительный, а родительный падеж (не знать чего-либо).

Судя по всему – вводное сочетание. Вводные слова и сочетания обычно не отделяются знаком препинания от присоединительного союза, стоящего в начале предложения. Корректно: Есть вещи, которых лучше не знать. И судя по всему, большинство считает, что это грамматика и пунктуация. Но для интонационного выделения вводного сочетания запятая после союза и может быть поставлена (это решает автор текста).

Можем рекомендовать такие пособия:

1. Глазунова О. А. Грамматика русского языка в упражнениях и комментариях. Ч. 1. Морфология. СПб.:  Златоуст, 2012.
2. Глазунова О. А. Грамматика русского языка в упражнениях и комментариях. Ч. 2. Синтаксис. СПб.:  Златоуст, 2015.
3. Метс Н. А. Трудные аспекты русской грамматики для иностранцев. М.: ИКАР, 2014.