Оба варианта верны.
Правильно: у/чет/.
Это предложение сложное, в нем две грамматические основы.
Правильно: на учёт поставлен 2 000 981 гражданин.
В родительном падеже – переподготовки (программа чего? профессиональной переподготовки); в дательном падеже – переподготовке (программа по чему? по профессиональной переподготовке). Обычное употребление – с родительным падежом.
Согласны с Вами, логичнее рассматривать сказуемое как составное именное.
Второй вариант правильный. Обратите внимание: Радищев учился в Пажеском корпусе (не в Пражском).
Корректно написание с заглавной буквы, так как это закрепившееся название территориальной единицы. См. словарную фиксацию. Подробнее о подобных названиях можно прочитать в правилах употребления прописных и строчных букв в географических и административно-территориальных названиях.
«Но» относится к раздельному написанию вместо слитного.
