Правильно: выдан Анастасии.
Корректно: снять полномочия с Головиной (при том условии, что мужской вариант этой фамилии - Головин).
Правильно: выдано Анастасии, выдано Наталии (но, если в именительном падеже Наталья, правильно: выдано Наталье).
Правильно: прошла половина лета.
Предпочтителен первый вариант.
Это некорректное сочетание. Половина не может быть большей или меньшей. Правильно: большую часть.