Сочетание составлено верно, ошибок нет.
Возможен второй вариант. Или так: Он дал мне день - всего один день, чтобы...
Согласны с Вами, глагол несовершенного вида в этом слогане выглядел бы лучше.
Запятая нужна, поскольку оставаясь дома — деепричастный оборот.
Запятые в этом предложении не нужны.