Возможен второй вариант. Или так: Он дал мне день - всего один день, чтобы...
Сочетание составлено верно, ошибок нет.
Запятая нужна, поскольку оставаясь дома — деепричастный оборот.
Согласны с Вами, глагол несовершенного вида в этом слогане выглядел бы лучше.