Правильно раздельное написание: верить на слово.
Правильно: верить во что-то.
Можно написать: желает не верить, не желает верить.
Следует поставить двоеточие: Я начинаю верить: вернется весна...
Различия существуют. Вы можете выяснить это при помощи электронных словарей в рубрике "Искать на Грамоте" на нашем портале.
Запятая не требуется.
Запятая нужна: Она не знала, верить ему или нет.
Вместо дефиса здесь следует поставить тире.
Причина в том, что это бессоюзное предложение, причем его вторая часть по содержанию противопоставляется первой.