Это краткая форма прилагательного, что можно установить с помощью словарей на нашем портале.
Правильно: на вилле; побывать на всех доступных виллах.
Правильно: южный полюс Луны. Дело в том, что на Земле полюса обрели названия — Южный и Северный. Названия пишутся с заглавной буквы, такое написание устойчиво и закреплено в правилах и словарях. В астрономии земные названия стали употребляться по отношению к другим крупным космическим телам — планетам и спутникам. При обозначении множества однородных объектов названия терминологизировались, что отразилось на их написании. Приведем несколько примеров:
У верхнего края снимка в середине виден кратер Пири диаметром 73 км, внутри которого расположен северный полюс Луны (Путешествие к Луне. Ред.-сост. В. Г. Сурдин. М., 2011).
Приборы аппарата обнаружили неподалеку от южного полюса Марса залежи замороженного CO2 объемом около 12 тысяч кубических километров (Знание — сила. 2011 // Национальный корпус русского языка).
Спустя 9 минут разгонный блок «Фрегат» со станцией «Луна-25» отделился от третьей ступени ракеты и вышел на околоземную орбиту. Через несколько дней должна произойти мягкая посадка в районе южного полюса Луны (Телеграм-канал Московского планетария. Сообщение от 11.08.2023).
Правильно: вилла барона Эмпана.
Оба сочетания возможны.
Словарная рекомендация верна: в женском роде правильно только вилась, а в среднем роде и во множественном числе возможны варианты: предпочтительно вилось, вились, но допустимо и вилось, вились. О противопоставленности в прошедшем времени форм женского рода остальным формам см. ответ на вопрос № 238095.