Выбор сочетания зависит от контекста.
Корректно: автор видео- и аудиокурсов.
Оба сочетания возможны, но употребительны в разных контекстах. Ср., например: узнал себя на видео (=на записи) и в видео присутствует ненормативная лексика (= «внутри» ролика). На практике конструкции с предлогом на встречаются гораздо чаще.
Висячий дефис нужен: видео- и фотосъемка.
Вот возможные варианты: теле-, видео- и аудиотехника; теле-, видео-, аудиотехника, телевидеоаудиотехника.
Правильно: работает в должности заведующего терапевтическим отделением. Слово заведующий управляет творительным падежом.
Сочетание видел видео стилистически некорректно. Смотрел видео — правильный вариант.
Оба варианта возможны.
В разговорной речи выражение допустимо.
Правильно: заведующий терапевтическим отделением.
