Правильно: закрыв глаза и не видя взмаха топора, я бы не понял, когда была расколота чурка. Первая запятая обособляет деепричастные обороты, вторая отделяет придаточное предложение от главного.

Возможны оба варианта, выбор может зависеть от контекста.

Не вызовет сомнения у слушающего вариант в пятнадцатом и шестнадцатом веках.

Ударение в этом названии при склонении остается на корне: в Су́мах.

Если имеется в виду разное образование (а не разные этапы обучения), то верно: В этих вузах разный уровень обучения.

Верно: переселение 6971 человека, проживающего в 586 многоквартирных домах.

Это слово образовано суффиксальным способом (нулевая суффиксация).

Верно: в начале XVIII и XIX веке.

Запятая не нужна. Деепричастный оборот не обособляется, если деепричастие имеет в качестве зависимого слова союзное слово который в составе определительной придаточной части сложноподчиненного предложения (такое деепричастие от придаточной части запятой не отделяется; запятая ставится только перед деепричастием).