Правильно: извозиться в грязи.
В случае если необходимо написать именно указанное просторечное слово, то верно: извозюкаться. Проверочное слово, например, (он) возится.
Запятые в этом предложении не нужны.
Такие словосочетания вполне нормативны.
Верные варианты написания: понятие "регион" и понятие региона.