В Вашем предложении употреблена составная форма будущего времени. Она образуется с помощью глагола быть в личной форме и инфинитива. В инфинитиве пишется мягкий знак, поэтому правилен первый вариант.
Нормативно и стилистически нейтрально: буду стирать. В непринужденной речи допустимо: буду стираться (в знач. 'устрою стирку').
Как правило, в подобных конструкциях употребляется винительный падеж.
Склоняются мужские фамилии Бутон и Король. Фамилия Прокопенко не склоняется.
Оба способа пунктуационного оформления возможны.