Досочка, досточка, дощечка - это маленькая доска.
Общеупотребительный вариант: полька. В разговорной речи допустимо: полячка.
Правильно: Общероссийский день библиотек.
Такой суффикс отмечается словарями, но он встречается редко. Его орфографический вариант после мягких согласных -ячк-. Примеры: жвачка, жрачка (сниж.), гордячка, спячка, болячка.
Эти фамилии склоняются (и мужские, и женские).