Глагол бежать имеет окончания II спряжения во всех формах, кроме 3 лица мн. числа, где он имеет окончание I спряжения. В школьной практике этот глагол называют разноспрягаемым.

Возможен такой вариант: Только достанешь пылесос из коробки, кот увидит – и бежать.

Верно: бежать за самолетом (каким?), совершающим рейс.

Здесь составное глагольное сказуемое.

Инфинитивную конструкцию бежать за ним можно рассматривать как «представляющую форму», которая называет то, на чем сосредоточивается внимание («Русская грамматика» 1980 г., т. 2, § 2675). Действительно, такую форму можно отделить с помощью тире: Уходит из-под носа мой автобус, но бежать за ним — не побегу, пускай уходит.

В этом случае необходимо обособление.

Такая расстановка знаков препинания корректна.

Запятая не нужна.

Воспользуйтесь пособием Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников».