Правильно: в дальнем зарубежье.
Правильно.
Город достойно представлен на соревнованиях по бальным танцам как в нашей стране, так и за рубежом.
С точки зрения норм современного русского литературного языка корректно: в главном бальном зале дворца.
Корректно: Р. п. Митина Дальнего; Д. п. Митину Дальнему; В. п. Митино Дальнее; Тв. п. Митином Дальним; Пр. п. о Митине Дальнем.