Правильно: на Арбате, на улице Арбат.
Оба сочетания правильны.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Хотя ареал – это 'область распространения каких-либо явлений, видов животных, растений, полезных ископаемых и т. п.', тем не менее сочетание ареал распространения зафиксировано словарями русского языка как нормативное. См., например: Большой академический словарь русского языка. Т. 1. М.; СПб., 2004.
См. ответ на вопрос № 281896.
Правильно: ареола соска (ареола – существительное женского рода).
О происхождении этого названия см. в пособии М. В. Горбаневского «Окликни улицы Москвы».
О происхождении названия Арбат см. в пособии М. В. Горбаневского «Окликни улицы Москвы».
Оба варианта корректны. Если есть возможность использовать кавычки разного рисунка, предпочтителен второй вариант.