Правильно только артиллерийский. Это прилагательное и к артиллерия, и к артиллерист.
1. Да, с прописной нужно писать только первое слово.
2. Лучше: Восточный и Западный Артиллерийский мост.
Артиллерийская площадка - артплощадка. Площадка искусств - арт-площадка.
Орфографический словарь
арт-… - первая часть сложных слов в знач. «художественный, относящийся к искусству», пишется через дефис
арт... - первая часть сложных слов (сокр.: артиллерийский), пишется слитно
Верно: арт-продленка.
арт-… - первая часть сложных слов в знач. «художественный, относящийся к искусству», пишется через дефис
арт... - первая часть сложных слов (сокр.: артиллерийский), пишется слитно