Кавычки уместны.

Если нужно образовать термин от сочетания определять (определяющий) культуру, то удачнее выглядит культуроопределяющий. Термин культурноопределяющий образован от наречия культурно и причастия определяющий (сравним образованный тем же путем термин культурнопьющий).

Так называется учение о правильности словоупотребления в речи.

Элемент архе- (древнегреческое ἀρχή 'начало, основание, происхождение') действительно не зафиксирован словарями как приставка, однако он встречается во многих терминах (архетип, археология, археография и т. п.). В словах архетип, архетекст, археспора она имеет значение, близкое к значению приставки пра-. 

Корректно: Подберешь невзначай черепок, а это страшная редкость, и за таким все археологи охотятся. Запятая перед и обязательна.

После первых частей сложных и сложносокращенных слов звук ы передается буквой и. Правильно: госидеология, пединститут, спортинвентарь и т. п.

Тире не требуется.

См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации».