Верен второй вариант. Первый вариант допустим только в разговорной речи.
Верно: аюрведа. Остальные аюрведические термины тоже уместно писать со строчной буквы, хотя нормативной рекомендации нет.
Окказиональные (то есть единичные, авторские) употребления слов прямда и левда встречаются, но в язык эти слова, конечно, не вошли.
Такая фамилия склоняется, если принадлежит мужчине: тетрадь Косорика Давида.
Верен первый вариант.
Верно: аренда ящика на Главпочтамте.
Да, такое сочетание корректно.
Верно: видеообращение генерального.