Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Корректно написание с заглавной буквы, так как это закрепившееся название территориальной единицы. См. словарную фиксацию. Подробнее о подобных названиях можно прочитать в правилах употребления прописных и строчных букв в географических и административно-территориальных названиях.
Да, правильно строчными: арабские страны.
Второй вариант правильный. Обратите внимание: Радищев учился в Пажеском корпусе (не в Пражском).
Такое слово неупотребительно.