Мужская фамилия Ананий склоняется так же, как, например, имя Арсений: Анания, Ананию, Анания, Ананием, об Анании. Женская фамилия Ананий (если форма именительного падежа именно такова) не склоняется.
Имя склоняется как существительное женского рода на -ия, например линия. Корректно: задания для Анании. См. также «Словарь русских имен».
Корректно: отрасль знаний.
Верно: знания о системе.
Первый вариант лучше.
Верно: профессиональные знания по основам...
Возможны оба варианта.
Здесь возможно: проверят знание истории, проверят знания об истории.