Предложение неполное, оно может быть восстановлено приблизительно так: Из недавних [проектов могут быть названы] постановка «Аиды» Верди в Большом театре, «Милосердие Тита» Моцарта в Театре Покровского. На месте пропуска в неполном предложении ставится тире.

Верно: Афины и их окрестности.

Аббревиатура МИД склоняется в разговорной речи и не склоняется в официальном употреблении. Поэтому в строгих, официальных контекстах верно: в МИД, в разговорной речи корректно: в МИДе.

Возможны два варианта: Дом моды Chanel и Дом моды "Шанель".

В образцовой литературной речи предпочтительно: российского МИД. В разговорной речи возможно: российского МИДа.

Возможный вариант: госпожа Чистые Руки.

Правильно: к Афинам; в сочетании с родовым словом – к городу Афины. Географические названия, употребляемые в сочетании с родовым словом, обычно не склоняются, если внешняя форма названия соответствует форме множественного числа.