Дерби – существительное среднего рода: алтайское дерби.
Да, элементы почтового адреса разделяются запятыми.
Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Прилагательное от Бали - балийский.
Эти имена нужно писать с большой буквы. Верно: Гиппократ.
Корректно написание с заглавной буквы, так как это закрепившееся название территориальной единицы. См. словарную фиксацию. Подробнее о подобных названиях можно прочитать в правилах употребления прописных и строчных букв в географических и административно-территориальных названиях.