Правильно: Остров свободы.
Географические названия: остров Путятина, остров Аскольд.
Правильно: национальный парк «Лосиный Остров». Слово остров пишется с большой буквы, поскольку употребляется не в своем основном значении (это не остров, а лесной массив).
Правильно: остров Татышев.
Правильно: остров Татышев (от имени Татыш).
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
Правильно: остров Татышев.