Рекомендуем писать эти сочетания как описательные обороты со строчной буквы.
Корректно: Орган местного самоуправления обязали компенсировать моральный ущерб, причиненный укусом бездомной собаки.
Нет, предложение требует структурного параллелизма однородных членов. Например: Он требует от бывшей жены алименты на сына и возмещение морального ущерба или Он требует от бывшей жены платить алименты на сына и возместить моральный ущерб.