Пишется Забава Путятична, произносится [шн]. Ср.: Ильинична, Лукинична, Никитична и т. п.: в женских отчествах на -ична произносится [шн], но пишется чн. Написание Забава Путятишна возможно при намеренной передаче произношения на письме.
Первый вариант корректен.
Правильно: Барак Обама. Обоснование см. здесь.
Условно говоря, это прилагательное.
Следует склонять: жители города Абакана.
Два амбала – косвенный падеж (ср.: два стола). В русском языке есть жаргонное слово амбал – здоровый и физически крепкий, сильный человек.
Слово "город" требуется только в канцелярской речи (в город Анапу).