По правилу разговорные названия машин с уменьшительно-ласкательными суффиксами пишутся без кавычек, например: москвичок, жигулёнок, фордик, уазик. Но в данном случае кавычки могут быть уместны, чтобы подчеркнуть, что речь идет не о собаке. В письменной практике встречаются оба варианта: милицейский бобик и милицейский «бобик». Представляется, что оба они корректны, а окончательное решение вправе принять автор текста.
Кавычки не требуются, если это слово употреблено в тексте, для которого нормой является использование подобных терминов.
О правильном управлении говорить не приходится, потому что слова камбэк нет в русском языке. Попробуйте выразить нужный смысл русскими словами.
Вы написали правильно: кубик Рубика.
В конструкции стиль ампир слово ампир является несклоняемым прилагательным, а в конструкциях типа в стиле французского ампира, поклонник ампира и т. п. — склоняемым существительным мужского рода.
Притяжательные прилагательные, образованные от личных имен, пишутся с большой буквы.
