Союз то ли... то ли... употребляется для выражения альтернативности, поэтому он должен соединять сопоставимые (в том числе и в грамматическом смысле) части высказывания: то ли пришел, то ли не пришел; то ли Вася, то ли Петя; Они то ли приедут, то ли не приедут; То ли они приедут к нам, то ли мы к ним. Изменение порядка слов в предложениях типа То ли он пойдет в кино, то ли останется дома характеризует высказывание как сугубо разговорное. Разговорный характер имеет и конструкция То ли они боялись убивать, то ли оказаться убитыми.

После второго (здесь — последнего) из дополнений, связанных повторяющимся разделительным союзом то ли... то ли..., запятая не требуется: Он показал весь уровень презрения то ли ко мне, то ли к ситуации в целом и покинул кабинет. Этот ряд дополнений, представляющий собой догадки автора, сопровождающие описание реальной ситуации, можно также оформить как вставную конструкцию: Он показал весь уровень презрения — то ли ко мне, то ли к ситуации в целом — и покинул кабинет.

То ли ... то ли – это повторяющийся разделительный союз. См. Объяснительный словарь русского языка: Структурные слова (М., 2002).

Судя по контексту, здесь сочетание не знай..., не знай... употреблено в роли разделительного союза (в каких-либо источниках, в том числе в «Словаре русских народных говоров», этот союз не удалось найти), синонимичного союзу то ли..., то ли.... После союза не требуются какие-либо знаки препинания. Что касается вводного слова оказывается, то оно не образует единого сочетания с союзом а (его изъятие возможно без нарушения структуры предложения, сравним: ...а по паспорту она Клавдия). Таким образом, верно: Она с сыном живет. Капитолина Самарина. Хотя не знай Капитолина, не знай Клавдия. Мы все ее Капитолиной звали, а, оказывается, по паспорту она Клавдия.

Правильно: то ли манго, то ли авокадо; не то манго, не то авокадо.

Знаки препинания расставлены верно. Для постановки запятой после но нет оснований.