Корректно: крем содержит омега-жирные кислоты; крем содержит комплекс омега-жирных кислот.

Корректен второй вариант: в открытке указан адресат.

В сочетаниях с приложением, если одна из частей содержит пробел, вместо дефиса должен употребляться знак тире: святой Михаил — архангел; Иоанн Креститель — мальчик.

Эти слова часто взаимозаменимы, но не всегда. Есть конструкции, где замена невозможна, например во фразах Я тоже! или Напиток содержит витамины, а также минеральные компоненты. Есть и стилистические различия: также — более официальное и книжное, тоже — нейтральное.

Сочетание сироп + существительное в Р. п. вполне легитимно в том же значении, что и сироп из + существительное в Р. п. (сироп алоэ, сироп глюкозы, сироп корня солодки и т. д.). Такое употребление не противоречит природе языка, призванной описывать реальность удобным и понятным носителям языка способом.

В этом случае следует использовать тире, поскольку компонент приложения содержит пробел: основные органы — мишени воздействия табака.

Предложение содержит ряд форм называния. В нем одна грамматическая основа, то есть оно простое.

Через дефис пишутся слова с первой частью кросс-, вторая часть которых содержит самостоятельно употребляющийся в современном русском языке корень: кросс-культурный, кросс-продажи, кросс-чек и т. п. В тех случаях, когда слово, начинающееся с кросс-, не содержит такого корня, следует выбирать слитное написание: кроссфит, кроссбридинг и т. п. Что касается слова (кросс)постинг, то оно не зафиксировано в нормативных орфографических словарях, поэтому его написание может быть вариативным (кросс-постинг и кросспостинг). При этом, поскольку академический словарь фиксирует термин постинг, орфографическим тенденциям соответствует именно дефисное написание.

Увы, но инициировать внесение какого-либо слова в словарь невозможно.

Это предложение вполне приемлемо. Нормой допускается употребление деепричастного оборота в безличном предложении, если оно содержит инфинитив, ср.: «Деепричастие может относиться также к не подлежащно-сказуемостным предложениям, включающим в свой состав инфинитив; обязательным условием такого употребления является совпадение субъекта действий (или состояний), названных деепричастием и инфинитивом» (Русская грамматика. М., 1980. Т. 2. § 2106).