Правильно со строчной буквы.
Служебные элементы (артикли, предлоги) ван, да, де, ле и т. п., входящие в состав иноязычной фамилии, могут быть ее неотъемлемой частью, и обычно в этих случаях мы не употребляем фамилию без служебного элемента. Ср.: мы говорим Ван Гог (не Гог), Ди Каприо (не Каприо), Де Костер (не Костер). Но при этом обычно употребляют: Бальзак (не де Бальзак), Бетховен (не ван Бетховен).
Это различие сказывается, как Вы, наверное, обратили внимание, и на написании. Служебные элементы, входящие в состав иноязычных фамилий, обычно пишутся со строчной буквы: Людвиг ван Бетховен, Оноре де Бальзак, Гёц фон Берлихинген. Однако если служебный элемент «спаян» с фамилией, он пишется с прописной буквы: Ван Гог, Шарль Де Костер, Леонардо Ди Каприо.
От «спаянности» служебного элемента с фамилией (и, соответственно, написания его с прописной или строчной буквы) зависит и алфавитный порядок. Например, в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко: БАЛЬЗАК Оноре де, БЕРЛИХИНГЕН Гёц фон, БЕТХОВЕН Людвиг ван – на букву Б; но: ВАН ГОГ Винсент – на букву В, ДЕ КОСТЕР Шарль и ДИ КАПРИО Леонардо – на букву Д.
В тех названиях городов, где компонент Сити по-русски пишется, он пишется с прописной буквы: Атлантик-Сити, Канзас-Сити, Кесон-Сити. Но Mexico City, New York City по-русски называются Мехико, Нью-Йорк.
Мехико и Мексика по-испански называются одинаково: México. Неодинаковое написание в русском языке объясняется традицией.
Конечно, профсоюз следует писать со строчной. К сожалению, многие убеждены, что написание с прописной буквы придает слову важность, значимость (нередко и сочетание генеральный директор пишется с прописной – он же генеральный!), хотя на самом деле такое употребление прописной буквы является просто орфографической ошибкой.
Правило о написании местоимения Вы с прописной буквы при обращении к одному лицу не является строго обязательным. Оно применяется по желанию пишущего: если автор текста хочет подчеркнуть уважительное отношение к человеку, он пишет Вы с прописной. Но и написание со строчной вполне возможно: обращение к человеку на вы само по себе является уважительным.
Правильно: в продолжение.
Правило о написании местоимения Вы с прописной буквы при обращении к одному лицу не является строго обязательным. Оно применяется по желанию пишущего: если автор текста хочет подчеркнуть уважительное отношение к человеку, он пишет Вы с прописной. Но и написание со строчной вполне возможно: обращение к человеку на вы само по себе является уважительным.
Слово республика в данном случае пишется со строчной буквы. Написание с прописной правильно в полном официальном названии государства. Ср.: он занимал пост министра финансов и экономики страны.
Да, если в каком-либо произведении действует такой персонаж и автор относит его к именам собственным, он вправе написать имя персонажа с прописной: птица Феникс.
Правильно с прописной буквы: Художник - он и в Африке художник.
