Слово Олимпиада в знач. 'Олимпийские игры' пишется с прописной буквы: зимняя Олимпиада, домашняя Олимпиада. Но: Белая олимпиада (образное название).
Слово олимпиада в знач. 'соревнования, состязания в чем-либо' пишется строчными: домашняя олимпиада по физике.
Вы имеете в виду Всероссийскую олимпиаду школьников? С большой буквы.
Можно написать: Евроолимпиада (хотя такое название не вполне корректно само по себе).
Правильно: лондонская Олимпиада, сочинская Олимпиада, московская Олимпиада.
Такая замена корректна, только если "национальный" имеет значение "относящийся к данной стране, государству", а соответствующая страна является республикой.
Лучше всего: (школьная) олимпиада по истории.
Это, скорее всего, языковая калька: такой способ произнесения дат есть в английском языке. Насколько эта калька окажется удачной - покажет время.
Слова зимний и летний в названиях Олимпийских игр пишутся строчными. Цифры лучше оставить римские. Корректно: XXXI летняя Олимпиада.
Корректно: пекинская Олимпиада.
Правильно: пекинская Олимпиада, зимние Олимпийские игры.