Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.

Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.

Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
 

В таких случаях кавычки вполне уместны: они покажут границы названия, оформленного средствами двух графических систем — кириллицы и латиницы. Без кавычек определить границы названия будет сложнее.

Корректно: кавалера ордена "Меценат", кавалеру ордена "Меценат" и т. п.  

При наличии родового слова (ОАО, компания, фирма, роман и т. д.) название в кавычках не склоняется; если же родового слова нет, название склоняется. См., например: Русская грамматика. М., 1980; Л. К. Граудина, В. А. Ицкович, Л. П. Катлинская. Грамматическая правильность русской речи. 1976 и далее.

Хотя названия, написанные латиницей, обычно не заключаются в кавычки, в данном случае кавычки как раз уместны: они показывают границы названия. 

Корректно: чемпионат по чему-либо. 

Название в кавычках при родовом слове не склоняется: ученица школы «Интеграция».

Название дисциплины физика в кавычки заключать не нужно. Чтобы понять, необходимо ли двоеточие, нужно видеть все предложение. 

В приведенном примере использование кавычек уместно.

Обратитесь к следующим источникам: Русская грамматика. М., 1980; Л.К. Граудина, В.А. Ицкович, Л.П. Катлинская. Грамматическая правильность русской речи. 1976 и далее.

Название в кавычках в этом предложении не склоняется, так как используется с родовым словом.