Нет, не корректно. Учащийся — человек, который учится в учебном заведении, а летние лагеря учебными заведениями не являются.
Правильно: триста лагерей.
Указанные запятые нужны.
Оба способа передачи этого слова буквами русского алфавита возможны.
Кто-нибудь мне объяснит, что случилось и почему фейсбук разделился на два лагеря?
Кавычки не используются.
Предпочтительно: Ежегодно его посещают более 25 тысяч детей. На базе центра функционирует 4 лагеря.
Множественное число слова лагерь зависит от значения. Если лагерь в значении 'общественно-политическая группировка; течение, направление', правильно в именительном падеже мн. числа только лагери. В других значениях верно: лагеря (и в некоторых случаях допустимо лагери). Поэтому: исправительно-трудовые лагеря.
С точки зрения языка оба варианта правильные, решать вам.
Между подлежащим и сказуемым возможно тире, если автор хочет логически подчеркнуть подлежащее.