Нужно, если у этих существительных в принципе есть форма ед. ч. Например, у слова ножницы такой формы нет, род не указывается (его просто невозможно указать).

Наречие наудачу пишется слитно, обстоятельство, выраженное этим наречием, не обособляется. Однако в приведенном Вами примере это слово употреблено неправильно. Значение наречия наудачу: 'надеясь на благоприятный случай; без предварительного обдумывания, выбора и т. п.', например: действовать наудачу, сказать наудачу, вытащить билет наудачу. Сочетанию предлога с существительным на удачу (например: надеяться на удачу) в этом предложении тоже не место. Возможный вариант: К счастью, в их квартире и у соседей никого не было.

Слова по счастливой случайности могут быть обособлены, особенно если стоят в середине предложения, ср.: Я потеряла сознание ненадолго, голова, по счастливой случайности, была почти не ушиблена, ранений много, но легкие. В. Каверин, Открытая книга. В начале предложения эти слова чаще не отделяются запятой. Но ошибкой эта запятая не будет.

Разделительный ъ пишется в этих словах потому, что исторически сочетание об(ъ) являлось приставкой. Ср.: обступить, обвести, обкрутить. Однако смысловые связи с однокоренными словами (напр., принять, объятия, неотъемлемый) были утрачены, и произошло сращение приставки с корнем. Процесс переосмысления структуры слова происходит медленно. Найдутся и сейчас люди, которые чувствуют структурные связи между словами объем, необъятный и их далекими родственниками. Кто-то даже может выделить в этих словах приставку об(ъ). Написание слов с ъ закрепилось в ту эпоху, когда приставка об(ъ)- еще хорошо осознавалась носителями языкка.

Верно: ...в Республике Болгарии. Также см. вопрос 205895.

Запятая не нужна. Слова в связи с этим  не являются вводными и не обособляются.

В предложении нет грамматических ошибок, то есть случаев некорректного согласования, управления и т. д., однако союз или в пояснительном значении здесь выглядит стилистически неудачным, поскольку в предыдущей части предложения уже есть разделительный союз ли...или, связывающий элементы другого сочинительного ряда. Кроме того, представляется неточным использованное здесь слово противопоставление. Рекомендуется отредактировать предложение, например: Гораздо важнее было, произносится ли текст или поётся, то есть принадлежит он к книжной или к народной словесности.

Глагол в предложении решения отменяются настоящим постановлением находится в настоящем времени и не может быть истолкован как указание на будущее время. Для указания на будущее время может быть использована формулировка решения будут отменены.

Сведения об ударении и грамматических формах слова можно найти в наших электронных словарях (в окне «Проверка слова» набрать приведенные слова).

1. Слова квантиль, квартиль мужского рода. Остальные два слова пока не зафиксированы в словарях. 2. Женского и среднего рода. 3. Правильно в род. п.: нет сети. В предложном падеже: о сети, с предлогом В верны оба варианта ударения: в сети, в сети (см. в словарях «Проверки слова»). 4. Спасибо за замечание, опечатку исправили.