В русском языке значения глаголов умереть и погибнуть синонимичны, но не одинаковы. Основное значение слова погибнуть — 
"подвергнуться гибели, уничтожению (обычно при катастрофе, бедствии и т.п.); умереть (обычно насильственной смертью)". 

Есть словари, в которых к примеру дано без каких-либо стилистических помет, но в некоторых изданиях (например, в «Русском семантическом словаре») указано, что эти слова имеют разговорную окраску (в отличие от стилистически нейтрального например).

Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).

Такие конструкции нарушают литературную норму, т. к. глаголы управляют разными падежами: организует что, осуществляет что, контролирует что, но руководит чем. Возможный вариант: организует, осуществляет деятельность органов уголовного преследования, руководит ею и контролирует ее.

Пунктуация верна, запятая перед что не требуется.

Обратите внимание, что смысл предложения не вполне ясен с первого прочтения. Мы предполагаем, что имеется в виду "есть что посмотреть", но рекомендуем по возможности перестроить предложение.

Если соответственно употреблено в знач. «надлежащим образом», «так, как требуется» или «соответственно тому, что сказано выше», запятая не ставится. Но вводное слово соответственно (то же, что «следовательно, значит») обособляется. См. «Справочник по пунктуации».

В приведенном Вами примере запятая обязательна: ...запущены новые линии резиносмешения, благодаря которым... Но она ставится не потому, что дальше следует слово благодаря, а потому, что здесь проходит граница между главным и придаточным предложением.

Да, названия железнодорожных станций, вокзалов пишутся без кавычек. Названия станций метро, остановок наземного городского транспорта заключаются в кавычки (в текстах, но не на картах и схемах и не на самих станциях и остановках).

Нормативно: Дэвид Кэмерон. Для передачи гласного э и указания на твердость предшествующего согласного в собственных именах иноязычного происхождения, как правило, пишется буква э. Исключения есть, но их не так много (напр.: Кармен, Дантес).

Увы, статей недостаточно. Словоизменительные парадигмы (с ударениями) подробно описаны во введении к "Грамматическому словарю" А. А. Зализняка, но это все же очень специализированная лингвистическая книга. Так что надежнее всего проверять ударение в словаре.