Слово сплетни исконно русское, оно восходит к глаголу съплести 'придумать, переврать' от плести (значение 'говорить что-либо несуразное, глупое; искажать правду' сохранилось у этого глагола и в современном русском языке: плести небылицы, плести какую-то чушь).
Предпочтительна форма ед. ч. сказуемого.
Лучше: подписаться под заявлением, расписаться на заявлении, поставить подпись в заявлении.
Приставка без- пишется перед гласной и перед звонкой согласной. Перед глухой согласной пишется приставка бес-. Орфографически правильно: бесстержневой.
Правильно: хостелы.
Английское brain транскрибируется как 
.
Об истории буквы Ё см. здесь.
Запятая не нужна.
Оба варианта возможны.
Такой способ переноса нежелателен, поскольку от корня слова отрывается первая согласная.
