Вводное слово в начале обособленного оборота не отделяется от него запятой: Сделать это можно любым удобным способом, например пополнив карточный счет.
Запятые ни в одном из этих предложений не нужны.
Запятая не требуется, но может быть поставлена, если автор текста делает акцент только на указании школы — в таком случае информация о классе предстает как уточнение. Случай аналогичен примерам типа Заседание кафедры состоится завтра (,) в шесть часов вечера (см. параграф 22.2 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя).
Пример относится к случаям, когда «перечисляемые разновидности предметов или явлений внутренне связаны» (см. пункт 4 параграфа 194 «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию»). Существительное здесь употребляется в единственном числе: Нанесите тени на верхнее и нижнее веко.
Это неоднородные приложения, поэтому запятая не требуется.
Орфографически правильное написание — Российский международный олимпийский университет. В составных названиях организаций с большой буквы пишется только первое слово (и имена собственные, входящие в название).
Видимо, в документах придется писать в соответствии с уставом, но за пределами юридически значимого контекста стоит придерживаться написания по орфографическому правилу.
В данном случае уместно множественное число сказуемых: Из 80 человек зарегистрировались и принимают участие 21. Сравним примеры типа Двадцать один делегат встретились за круглым столом из «Справочника по правописанию, произношению, литературному редактированию».
Наскальный — относительное прилагательное.
Вторая запятая в том и в другом случае нужна, она закрывает уточняющий оборот. Тире в этих предложениях — они являются эллиптическими— поставлено на месте пропущенного сказуемого.
Увы, соединение глагола объявляется и сочетания признание коллектива нельзя назвать корректным. Рекомендуем обратиться к примерам словосочетаний в толковых словарях русского языка и выбрать наиболее подходящее для выражения необходимого смысла; см., в частности, статью признание в «Большом универсальном словаре русского языка».
