Талант – неодушевленное существительное (в т. ч. о человеке). Правильно: поддержать молодые таланты.
Словарной фиксации нет. Предпочтительно написание через Е.
Это сочетание пишется строчными: пятая колонна, в постановке кавычек нет необходимости.
Склоняются обе части названия: Ленинска-Кузнецкого, в Ленинске-Кузнецком.
Правильно: большинство закрывает глаза. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».
Правильно: причину отказа в выдаче справки.
Фамилия склоняется, только в родительном падеже не Биригая, а Биригоя (ср. прибой – прибоя), нет причин менять о на а. Склоняется только мужская фамилия Биригой, женская несклоняема.
Слово острова пишется строчными в значении 'группа островов, архипелаг': Сейшельские острова, Маршалловы острова, Виргинские острова. Но в официальных названиях государств, административных территорий слово Острова пишется с прописной: Республика Сейшельские Острова, Республика Маршалловы Острова (названия государств), Британские Виргинские Острова (название британской заморской территории).
Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011:
кафедра, -ы (в вузе или другом учреждении), напр.: кафедра русского языка, кафедра иностранных языков, кафедра органической химии
Написание с прописной (большой) буквы – С Уважением – не было нормативным и в советское время. Правильно (и раньше, и сейчас) – со строчной (маленькой) буквы: С уважением.
