Корректное написание: раджа-йога.
По данным Орфографического академического ресурса «Академос» все перечисленные сочетания следует писать со строчной буквы: декартова система координат, декартово произведение, декартов лист.
Верно написание со строчной буквы: карельская Арктика.
Этот вопрос не регламентируется правилами правописания. Его лучше задать классному руководителю, т. к. требования к ведению дневника в разных образовательных организациях могут быть разными.
Следует писать с маленькой буквы, например: общество с ограниченной ответственностью, кооператив, товарищество на вере.
Это будет ошибкой. Единственно возможный вариант — с ударением на и.
