Женщина тоже может быть профессором :)

Лучше написать заместителям директоров (иначе можно подумать, что это обращение к нескольким заместителям одного директора).

Возможно и единственное, и множественное число сказуемого. Выбор зависит от того, какой смысл вкладывается в сочетание. Варя с медвежатами стали ходить по квартирам: Варя и медвежата – равноправные участники действия. Варя с медвежатами стала ходить по квартирам: основное действующее лицо – Варя, а медвежата – сопутствующие производителю действия лица (морды).

Запах чувствуется – общеупотребительный, стилистически нейтральный вариант; запах слышится – допустимое разговорное употребление.

См. ответ на вопрос № 256489.

Запятую нужно поставить (придаточное предложение отделяется от главного запятой).

Правильно здесь: уверены.

Правильно слитное написание. Первая часть сложных слов гидро... пишется слитно.

Слово губернаторство ('должность губернатора; пребывание в должности губернатора') входит в состав русского литературного языка. Это стилистически нейтральное слово, запрета на его употребление в официальных текстах нет.

Слова на -ье (в том числе оканье и цоканье) имеют в предложном падеже окончание -е: в оканье.