В последней по времени академической грамматике русского языка (Русская грамматика, в двух томах, 1980) есть только очень краткий и неполный перечень глаголов, способных служить модальной связкой составного глагольного сказуемого (слова категории состояния, или предикативы, которые перечисляются вместе с ними, опускаем): может, хочет, желает, следует (в знач. ‘надо’), (не) годится (в знач. ‘не следует’), надлежит, подобает (т. 2, с. 215). Очевидно, что здесь же должны быть названы такие глаголы, как стоить (Тебе стоит показаться врачу), любить (Вася любит собирать грибы) и многие, многие другие. Закрытого списка подобных глаголов не только нет, но и быть не может, потому что часто в этом качестве используются глаголы в переносном значении, изначально не предназначенные для этой функции, — например, счесть в сочетании счесть за лучшее (Вася счел за лучшее смолчать).

Критерием для идентификации глагола в роли модальной связки составного глагольного сказуемого служит контекстуальная синонимия: например, счел за лучшее в конечном счете означает ‘пожелал’, любит собирать означает ‘(всегда) желает собирать’.

Стоит заметить, что модальных глаголов в том смысле этого термина, в котором он применяется к английским (например) модальным глаголам, в русском языке нет: если английский модальный глагол и обычный глагол сочетаются с инфинитивом по-разному (He can swim — He likes to swim), то у русских «модальных» глаголов таких особенностей нет.

Обычно в таких случаях слово доля не употребляется. Верно: одна десятая квадратного метра.

Поскольку прямая речь заканчивается восклицательным знаком, точка после кавычек не ставится.

Правильно раздельное написание: не обрезанная фотография. 

Как правило, говорят о пробеге. Можно написать: пробег автомобиля по таким-то дорогам составил столько-то километров.

Можно перефразировать: по команде каждый из трехсот пятидесяти молодых лейтенантов... и дальше в ед. числе.

Да, запятая ставится. Похожие случаи можно найти по ключевому слову "информации", "сведениям", "данным" и др.

Запятую можно не ставить, если слово "затем" соотносится по смыслу с обеими частями сложносочиненного предложения.