Союз НО противительный, однако он не является основанием для раздельного написания. Ср.: он принес не законченную работу, а только отдельные наброски.
Будет корректным во всех случаях считать это слово существительным.
Логичным было бы такое написание: Российский чемпионат по ралли-рейдам.
Подвергнутый - причастие прошедшего времени, которое полностью соотностится по значению со словом подвергнуть. Подверженный - прилагательное со следующими значениями:
ПОДВЕРЖЕННЫЙ, -ая, -ое; -жен, -а, -о.
1.
Постоянно подвергающийся чему-л. П. опасностям.
2.
Предрасположенный к чему-л. П. простуде. Морской болезни я не подвержен.
3. Устар.
Зависимый, подчиняющийся кому-, чему-л. П. закону. Жена подвержена мужу. < Подверженность, -и; ж. П. простуде, бронхиту.
Правильно (с зависимыми словами): тушенное.
Коты - подлежащее; нравятся - сказуемое; мне - дополнение.
Если не требуется подчеркнуть отрицание интонационно, то уместно слитное написание в обоих случаях.
Подлежащее (формально) - костер.
Верно написание без кавычек.
