Оба варианта правильны. См. также ответ на вопрос № 281220.
Выбор предлога зависит от контекста.
Корректно по отношению к исторической эпохе: поздняя Античность.
Слово Античность как название исторической эпохи следует писать с прописной буквы (см. словарную фиксацию). Прилагательное поздний в сочетании поздняя Античность пишется со строчной буквы по аналогии с сочетанием раннее Средневековье (см.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011).
Оба варианта верны.
Раньше правильным считался только вариант брелока, брелоку... брелоки, брелоков... Вариант с выпадением гласного (брелка, брелку... брелки, брелков...) не допускался. Постепенно норма смягчилась: вариант брелка, брелки сейчас признается допустимым (в разговорной речи), хотя предпочтительно по-прежнему брелока, брелоки.
Кроссовка – существительное женского рода: две кроссовки.
Не с существительным пишется слитно при отсутствии противопоставления: неподключение дома к сети.
Минздрав – существительное мужского рода: Минздрав обнародовал.
Вы написали правильно.
Вы написали правильно.
