1. Вы правы, корректно с запятой. Обратите внимание, учебный год принято писать через слеш: В новом, 2018/2019 учебном году.

2. В штате ИП Ивановой И.И. или привлеченных ею на ином законном основании педагогических работников...

3. К сожалению, требования ЕГЭ в отношении орфоэпических норм бывают более строги, чем предписания нормативных словарей. Вариант перчИть как неправильный фиксировался в словаре-справочнике «Русское литературное произношение и ударение» 1959 г. «Словарь трудностей русского языка. Ударение. Грамматические формы» Н. А. Еськовой 2014 г. допускает два варианта: пЕрчить и перчИть. При этом первый отмечается как предпочтительный. В «Словаре ударений русского языка» И. Л. Резниченко 2015 г. пЕрчить и перчИть уже представлены как равноправные варианты. То же в «Словаре трудностей русского языка для работников СМИ» М. А. Штудинера 2016 г., однако в эфире этот словарь рекомендует отдавать предпочтение ударению на первом слоге.

Апостроф (ударение в этом слове ставится на последнем слоге, вариант апостроф недопустим) в современном русском письме используется для передачи иностранных фамилий с начальными буквами Д и О; при этом воспроизводится написание языка-источника: д'Артаньян, Жанна д'Арк, О'Нил, О'Коннор; то же в географических наименованиях: Кот-д'Ивуар.

Кроме этого, апострофом отделяются русские окончания и суффиксы от предшествующей части слова, передаваемой средствами иной графической системы (в частности, латиницей), например: c-moll'ная увертюра, пользоваться e-mail'ом. Если иноязычное слово передается кириллицей, апостроф не используется.

Следует также отметить, что после орфографической реформы 1917 – 1918 гг., упразднившей написание Ъ на конце слов, пишущие иногда избегали и употребления разделительного Ъ, хотя оно было регламентировано правилами правописания. В практике письма получило некоторое распространение употребление апострофа в функции Ъ: с'езд, об'ём, из'ятие и т. п. Однако такое употребление апострофа не соответствует современным нормам письма.

В статьях «Википедии» следует использовать прилагательное большевистский.

«Русский орфографический словарь» РАН указывает, что с точки зрения словообразования прилагательное большевистский образовано от большевизм, а большевицкий – от большевик. Это так, но стилистически эти слова неравнозначны. Прилагательное большевицкий может восприниматься как нейтральное, если относится к большевику как к человеку (например: пожал его крепкую большевицкую руку), но трудно представить контекст, при котором это слово в таком значении будет использоваться в энциклопедии.

Наблюдения за современной речью – как устной, так и письменной – показывают, что в значении 'относящийся к большевизму, к движению большевиков' слова большевистский и большевицкий различаются стилистически. На практике большевицкий используется с отрицательной экспрессией; его использование говорит о негативной оценке говорящим большевизма и действий большевиков. Поэтому в энциклопедических статьях, которые должны быть свободны от оценок, целесообразно употреблять в этом значении стилистически нейтральное прилагательное большевистский.

Современной орфографической норме соответствует написание естественно-научный. Можно сослаться на  «Русский орфографический словарь» РАН под ред. В. В. Лопатина (М., 2007)  – самый полный современный орфографический справочник, а также на «Орфографический словарь русского языка» Б. З. Букчиной, И. К. Сазоновой, Л. К. Чельцовой (М., 2008), включенный приказом Министерства образования и науки РФ в список грамматик, словарей и справочников, содержащих нормы современного русского литературного языка при его использовании в качестве государственного языка Российской Федерации.

Затруднения в написании слова естественно-научный обусловлены тем, что по «Правилам русской орфографии и пунктуации» 1956 года (которые действуют до сих пор) верно слитное написание этого слова (как образованного от словосочетания естественные науки). Однако в пунктах, касающихся слитного / дефисного / раздельного написания, «Правила русской орфографии и пунктуации» устарели и расходятся с современной практикой письма, поэтому необходимо руководствоваться предписаниями современных орфографических словарей.

Ответ на Ваш вопрос содержится в статье Е. В. Арутюновой, Е. В. Бешенковой, О. Е. Ивановой «Прописные и строчные буквы в собственных именах людей, прозвищах, псевдонимах, кличках: из академических правил русской орфографии». 

«При упоминании того или иного персонажа литературного произведения в другом произведении статус имени может меняться, — пишут исследователи. — Например, в сказке А. С. Пушкина «Сказка о мертвой царевне и семи богатырях» сочетание мертвая царевна не является именем собственным, но если в другом произведении говорится именно об этой мертвой царевне, то автор вправе отнестись к нему как к имени собственному, т. е. правомерно написание Мертвая царевна».

Таким образом, вопрос о границах имени собственного решается автором текста. Орфографические правила позволяют современному автору превратить пушкинского ученого кота в своем произведении в Ученого кота.

Буква Ё всегда занимала особое место в русском алфавите, она с самого начала воспринималась как факультативная, необязательная. Об этом красноречиво говорит следующий факт: однажды была сделана попытка закрепить обязательность употребления буквы Ё, причем сделана она была Сталиным в 1942 году. Это случилось после того, как Сталину принесли на подпись постановление, где рядом стояли две фамилии военачальников: Огнёв (написанная без буквы Ё) и Огнев. Понять, кто где, было невозможно, поэтому вождь усомнился в полноте орфографических правил, и скоро все советские газеты начали выходить с буквой Ё, были напечатаны орфографические словари с буквой Ё. И даже несмотря на это, уже через несколько лет, еще при жизни Сталина, букву Ё снова перестали печатать. Факультативность буквы Ё была закреплена официально в «Правилах русской орфографии и пунктуации» 1956 года, которые действуют до сих пор.

Об этом подробно написано в «Справочнике по правописанию, произношению, литературному редактированию» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой:

«При наличии в качестве пояснительного слова наречия совсем возможно как слитное, так и раздельное написание не с прилагательными, что связано с двумя значениями, в которых употребляется указанное наречие:

1) «совершенно, очень»;

2) «отнюдь», «никоим образом»;

ср.: совсем ненужная встреча (совершенно ненужная, лишняя) – совсем не случайная встреча (отнюдь не случайная, на не падает логическое ударение). В некоторых случаях возможны оба толкования и, как следствие, оба написания, например: совсем небольшие достижения (маленькие, скромные) – совсем не большие достижения (отнюдь не большие). В этих случаях для решения вопроса о написании не нужен более широкий контекст. Слитное написание характерно для информативных текстов, раздельное – для полемических».

Запятыми выделено обстоятельство. Для смыслового выделения или для попутного пояснения могут обособляться обстоятельства, выраженные существительными в формах косвенных падежей (обычно с предлогами), особенно если при этих существительных имеются пояснительные слова: С приближением неприятеля к Москве, взгляд москвичей на своё положение не только не сделался серьёзнее, но, напротив, ещё легкомысленнее (Л. Т.) — смысловая нагрузка обособленного оборота в начале предложения усиливается в связи с тем, что к временному значению добавляется уступительное (взгляд москвичей становился легкомысленнее не только тогда, когда неприятель приближался к Москве, но и вопреки тому, что он приближался); Петя, после полученного им решительного отказа, ушёл в свою комнату и там, запершись от всех, горько плакал (Л. Т.) — совмещены два значения обособленного оборота — временное и причинное (ушел и горько плакал не только после того, как получил отказ, но и потому, что получил его). 

Поскольку смысловой акцент в этом предложении как раз на прилагательных и ни о чем другом, кроме этого качества дней, в предложении не сообщается, они действительно являются сказуемым (точнее — однородными именными частями составного именного сказуемого). Не случайно при переводе предложения в план прошедшего времени мы получим: Дни были солнечные, тихие — стандартный вид составного именного сказуемого.

Во втором предложении смысловой акцент такой же, разница лишь в том, что вместо формальной связки (были, будут — формы глагола быть) в нем использована полузнаменательная связка — глагол в обедненном значении стояли (согласитесь, что предполагать, будто дни «стояли» в буквальном смысле слова, не приходится). Соответственно, и здесь составное именное сказуемое стояли тихие, солнечные, разница только в типе вспомогательного глагола-связки.

Не следует думать, будто прилагательное автоматически является определением. Сказуемое — вторая из двух основных функций прилагательного.