Словарной фиксации нет, однако Вы написали правильно. При сокращении слов, содержащих двойную согласную, в составе сложносокращенных слов сохраняется только одна согласная. Ср.: грамзапись (граммофонная запись), корпункт (корреспондентский пункт), теракт (террористический акт). Обратите внимание: слово класрук воспринимается как разговорное и не может употребляться в официальной речи.
Правильно: проблемы с входом.
См. вопрос 280478.
Это сочетание пишется с маленькой буквы: система страхования вкладов.
Литийионный.
Уменьшительное от имени Илья - Илюша. В семейном обиходе возможны, впрочем, любые уменьшительные формы имени, в том числе Ильюша.
Можно попробовать выяснить это при помощи Национального корпуса русского языка: http://ruscorpora.ru/
Туфли из кожи, кожаные туфли.
Фамилия, оканчивающаяся на -О, не склоняется.
Слитное написание корректно.
